Pour dire vrai j'ai hésité avant de publier ce billet, car le sujet est un peu piégé. Le nombre d'or est en effet brandi comme une sorte de talisman par toutes sortes de charlatans, numérologistes, astro-bullshitologues et autres magnétiseurs de chacras. Et de l'autre côté, les rapports numériques dans la musique de Jean-Sébastien Bach ont eux aussi été amplement analysés, parfois pour y trouver des relations numériques tellement lointaines qu'on peut bien se demander si elles ne sont pas le produit d'un pur hasard. Les gens qui trouvent le nombre d'or partout dans la musique de Bach sont pour moi un peu comme ceux croient avoir 'décodé' une prédiction des attentats du 11 septembre 2001 dans la bible: hautement suspects de quadrapilectomie (art de couper les cheveux en quatre), voire bien pire que cela. C'est ainsi que je recommanderai la lecture de "Bach ou La passion selon Jean-Sébastien: de Luther au nombre d'or" de Guy Marchand uniquement aux adeptes de ces petits jeux  ésotériques.

Cela dit, il ne fait aucun doute que Bach sait jouer avec les nombres et les lettres en musique. Il a écrit une fugue sur le thème musical B-A-C-H (en français si bémol - la - do - si), également utilisé comme signature dans l'Art de la Fugue. La première fugue du Clavier bien tempéré comporte exactement 24 entrées du thème principal: on peut y voir une annonce des 24 préludes et fugues du recueil, même si toutes les fugues classiques comptent une vingtaine d'entrées du thème. On trouve ailleurs des utilisations du nombre 14 = B + A + C+ H = 2 + 1 + 3 + 8 ou encore du nombre 3 dans les cantates consacrées à la Trinité.

Au fait, qu'est-ce que le nombre d'or ? Il y a plusieurs manière de le définir: j'ai choisi celle du rectangle qui est assez parlante intuitivement. Imaginez un rectangle dont le petit côté mesure 1 mètre et le grand côté φ mètres. On veut ajuster φ de manière à ce que si on enlève un carré de 1m x 1m, on obtient un rectangle plus petit mais dont les proportions sont les mêmes. Autrement dit: φ = 1/(1-φ) ou bien φ^2 = φ + 1. En tâtonnant un peu on voit que 8/5 = 1.6 est un peu trop petit tandis que 1.66 = 5/3 est un peu trop grand. La solution est un nombre irrationnel φ = 1.618... . En Grèce ancienne, où les mathématiques étaient surtout basée sur les rapports de nombres entiers, le nombre d'or fascinait au même titre que π ou que la racine de 2 car c'est un nombre irrationnel qui intervient dans une construction géométrique simple. Le nombre d'or est celui des proportions harmonieuses qu'on peut trouver dans la nature, ainsi qu'on peut le voir avec cette très élégante 'spirale de Fibonnacci' qui est construite en itérant plusieurs fois le découpage du rectangle doré que nous avons décrit plus haut: Fibonacci_spiralpng.png

Construisons maintenant une série dont chaque terme est la somme des deux précédents:

1+1 = 2

1+2 = 3

2+3 =5

3+5 = 8

5+8=13

8+13=21

13+21=34

21+34=55

34+55=89

...

Pour continuer avec les rectangles, chaque addition correspond à la construction d'un rectangle (a+b, a) à partir du rectangle (a,b). Je vous épargne la démonstration (ressortez vos cours de maths de terminale ou cherchez sur Internet au besoin) mais il me paraît intuitif que le rapport entre deux nombres successifs de cette série de Fibonacci tend vers le nombre d'or. De fait on peut vérifier que 89/55=1.618... donne déjà trois décimales exactes.

Fort bien, et la musique de Bach dans tout ça ? Eh bien on y trouve des ratios proches du nombre d'or, ce qui peut contribuer à lui donner un aspect à la fois vivant et harmonieux. Pure spéculation théorique ? Regardons plutôt un exemple, le premier prélude du Clavier bien tempéré (premier livre):

Ce prélude est très connu, et sa grande simplicité le rend accessible même aux pianistes débutants. Pourtant le motif rythmique utilisé est tout à fait original. Les huit double croches s'organisent en 2+3+3, ou 5+3 si l'on veut. 2, 3, 5: les premiers termes de la série de Fibonacci. Cette structure rythmique permet d'éviter la décomposition binaire 8 = 4+4 = 2+2+2+2 qui donnerait quelque chose de beaucoup plus mécanique et répétitif.

En voici la preuve par l'oreille: j'ai testé trois variantes où l'on conserve les mêmes notes en les organisant par groupes de 4:

(deuxième variante)
(troisième variante)

Le résultat est beaucoup plus banal et ennuyeux que le prélude original. Il y manque ces appuis légèrement décalés qui en font tout le charme. Ainsi la note supérieure (mi dans la première mesure) apparaît sur les 5e et 8e doubles croches ce qui peut donner l'impression d'un rythme pointé ("croche pointée double") qui vient ponctuer le flux de doubles croches. Est-ce tout ? Bien sûr que non. Ce prélude comporte 34 mesures (si l'on exclut la mesure finale qui comporte uniquement l'accord d'ut majeur). Or si la basse descend constamment jusqu'à la mesure 21 (fa, IVe degré) avant de remonter vers une pédale de sol (Ve degré) qui amère la conclusion. 34=21+13, les proportions de ce prélude sont aussi parfaites que celles de la Venus de Milo ou que l'homme de Vitruve.

On trouve une structure rythmique similaire dans le Prélude de la première Suite pour violoncelle seul. Bien qu'on ne possède pas d'autographe de ces suites mais seulement une copie de la main d'Anna-Magdalena (copies dont on sait qu'elles ne sont pas toujours très fiables pour certains détails comme les liaisons), on peut considérer la liaison des trois premières notes comme fiable. On retrouve à nouveau une répartition 8 = 3 + 5 qui dynamise le rythme des doubles croches en évitant un débit trop uniforme. Il est important dans cette Allemande de respecter les liaisons. Écoutez pour vous en convaincre la version écrite (3 liées, 5 détachées):

Et une autre version où les notes sont liées par quatre, ce qui est suffisant pour rendre la musique beaucoup plus banale:

Il y aurait bien d'autres choses à dire sur les proportions dans la musique de Bach (et pas seulement la proportion dorée) mais je m'en tiendrais à ces remarques préliminaires. J'espère avoir tout de même montré que l'équilibre parfait des proportions qui crée tout le plaisir à l'oreille apparaît dans bien des situations comme voulu et même calculé par Bach qui plus que tout autre musicien, ne laissait rien au hasard.

Nous reparlerons sans doute dans ce journal nombre d'or qui a été utilisé par bien d'autres musiciens, de Dufay à Bartok et Xenakis. Et qui peut intervenir non seulement dans les proportions rythmiques mais aussi dans l'harmonie.